【Codeforces–743C】Vladik and fractions

题意

给定正整数 $n$，请找出一个合法的三元组 $(x, y, z)$，满足：

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{n}$$

要求：$x, y, z\in \Bbb{Z}^+$ 且互不相同。

$1\leq n\leq 10^4$.

题解

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n}$$

那就直接 $z=n$，则有：

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{n}$$

考虑裂项公式：

$$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}=\frac{1}{n(n+1)}$$

因此：

$$\frac{1}{x} + \frac{1}{y}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n(n+1)}$$

于是得到：

$$\left\{ \begin{array}{lr} x=n+1\\ y=n(n+1)\\ z=n \end{array} \right.$$

当 $n=1$ 时，$x=y=n+1$，无解。

否则，按上述方案构造即可。